Question

6．如图，在圆的正中央摆放着一个正方形DEFG，且正方形的顶点D在弦AC上、对角线EG在直径AB上．若EG=4，AB=8，则AC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接BC、DF，DF与AB交于点O，由题意点O为圆心，由△AOD∽△ACB，得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AO}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图连接BC、DF，DF与AB交于点O，由题意点O为圆心．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴EG⊥DF，∠AOD=∠ACB=90°，
在RT△AOD中，∵AO=4，DO=2，
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠DAO=∠BAC，
∴△AOD∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AO}$，
∴$\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{AC}{4}$，
∴AC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
故答案为$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，转化为方程解决问题，属于中考常考题型．