Question

14．在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2分别与x轴，y轴交于A、B两点，过点C（1，0）的直线l∥AB．
（1）请直接写出A、B两点的坐标；并求AB的长度；
（2）求直线l的函数关系式；
（3）已知：动点P在线段BC 上，AD⊥AP交直线l于D点．连结DP，试探索：在P点的运动过程中，∠ADP的大小是否会发生变化？为什么？

Answer 1

分析 （1）在y=$\frac{1}{2}$x+2中分别令y=0和x=0，则可求得相应的A、B的坐标，根据勾股定理可求得AB的长度；
（2）由平行线的特征可设直线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，把点C坐标代入可求得k的值，则可求得直线l的解析式；
（3）∠ADP的大小不发生变化．如图，延长AO交直线l于G．利用相似三角形的判定和性质想办法证明△AOD∽△POC，即可推出∠ADP=∠PCO，延长即可解决问题．

解答 解：（1）对于直线y=$\frac{1}{2}$x+2，令x=0得y=2，令y=0得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（2）∵直线l∥AB，
∴可以假设直线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，把点C坐标代入得到b=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．

（3）∠ADP的大小不发生变化．理由如下，
如图，延长AO交直线l于G．

∵B（0，2），C（1，0），
∴直线BC的解析式为y=-2x+2，
∵直线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∵-2×$\frac{1}{2}$=-1，
∴BC⊥直线l，
∴∠PCG=90°，
∵PA⊥AD，
∴∠GAD=∠GCP=90°，∵∠PGC=∠AGD，
∴△PGC∽△DGA，
∴$\frac{PG}{GD}$=$\frac{GC}{GA}$，
∴$\frac{PG}{GC}$=$\frac{GD}{GA}$，∵∠PGD=∠CGA，
∴△GPD∽△GCA，
∴∠PAO=∠CDO，∵∠AOP=∠DOC，
∴∠△AOP∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{OP}{OC}$，
∴$\frac{AO}{OP}$=$\frac{DO}{OC}$，∵∠AOD=∠POC，
∴△AOD∽△POC，
∴∠ADP=∠PCO，
∵∠PCO是定值，
∴∠ADP是定值，大小不变．

点评 本题考查一次函数的应用、两直线平行的条件、两直线垂直的条件、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考压轴题．