Question

3．已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点F，连接ED，且有ED=EF．
（1）如图1，求证：ED为⊙O的切线；
（2）如图2，直线ED与切线AG相交于G，且OF=2，⊙O的半径为6，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；
（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度

解答 （1）证明：连接OD，
∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠EDF=∠CFO．
∵OD=OC，
∴∠ODF=∠OCF．
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，
∴ED为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，
由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，
由勾股定理得，EO²=ED²+DO²，即（a+2）²=a²+6²，
解得，a=8，即ED=8，EO=10．
∵sin∠EOD=$\frac{ED}{EO}$=$\frac{4}{5}$，cos∠EOD=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{3}{5}$，
∴DM=OD•sin∠EOD=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，MO=OD•cos∠EOD=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∴EM=EO-MO=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，EA=EO+OA=10+6=16．
∵GA切⊙O于点A，
∴GA⊥EA，
∴DM∥GA，
∴△EDM∽△EGA，
∴$\frac{DM}{GA}$=$\frac{EM}{EA}$，即$\frac{\frac{24}{5}}{GA}$=$\frac{\frac{32}{5}}{16}$，
解得，GA=12．

点评 本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．