Question

13．如图（1），已知抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于A、B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为-5，且点D（-2，-3）在此抛物线的对称轴上．
（1）求a、b的值；
（2）若在直线AC上方的抛物线上有一点M，当点M到x轴的距离与M到直线AC的距离之比为$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$时，在y轴上找一点P，使得|PD-PM|值最大，时求此时点P的坐标及|PD-PM|的最大值；
（3）如图（2），过点B作BK⊥x轴交直线AC于点K，连接DK、AD，点H是DK的中点，点G是线段AK上任意一点，将△DGH沿边GH翻折得△D'GH，当KG为何值时，△D'GH与△KGH重叠部分的面积是△DGK面积的$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）列出关于a、b的方程组解方程组即可；
（2）如图2中，作MP⊥AC于P，MG⊥AB于G，MG与AC交于点T，设点M（m，-m²-4m+5），求出MG、MP列出方程解方程即可，再求出直线DM的解析式即可解决问题．
（3）令y=0，得出点B和K的坐标，分三种情况：①若翻折后，点D′在直线GK上方，记D′H与GK交于点L，连接D'K，由面积的关系得出四边形D'GHK是平行四边形，再证明△ABK和△AED都是等腰直角三角形，由勾股定理得AG和KG即可；②若翻折后，点D′在直线DK下方，记D′G与KH交于点L，连接D′K，由题意得S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D′HL=S_△KGL，仍证明四边形D′KGH是平行四边形，求得KG；③若翻折后，点D′于点K重合，则重叠部分的面积等于S_△KGH=$\frac{1}{2}$S_△DGK，不合题意；综合写出KG的值．

解答 解：（1）∵D（-2，-3）在对称轴上，点A（-5，0）
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b+5=0}\\{-\frac{b}{2a}=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5，
∴a=-1，b=-4．

（2）如图（1）中，作MN⊥AC于N，MG⊥AB于G，MG与AC交于点T，设点M（m，-m²-4m+5），
∵AO=CO=5，∠AOC=∠AGT=∠MNT=90°，
∴∠TAG=∠ATG=∠MTN=∠NMT=45°，
∵直线AC为y=x+5，
∴点T（m，m+5），MT=-m²-4m+5-（m+5）=-m²-5m，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$TM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²-5m），
∵$\frac{MG}{MN}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{-{m}^{2}-4m+5}{\frac{\sqrt{2}}{2}（-{m}^{2}-5m）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得m=-3（或-5不合题意舍弃），
∴点M坐标（-3，8）．
连接DM，直线DM交y轴于P，此时|PD-PM|的最大值，最大值=$\sqrt{{1}^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{122}$，
∵直线DM的解析式为y=-11x-25，
∴此时点P坐标（0，-25）．

（3）令-x²-4x+5=0，得x=-5或x=1，
∴B（1，0），K（1，6），
∵DK=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+[6-（-3）]^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
①若翻折后，点D′在直线GK上方，记D′H与GK交于点L，连接D'K，
如图2，
∴S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D'GL=S_△KHL，
∴GL=LK，HL=D'L，
∴四边形D'GHK是平行四边形，
∴DG=D′G=KH=$\frac{1}{2}$KD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
又∵BK=BA=6，DE=AE=3，
∴△ABK和△AED都是等腰直角三角形，AD=3 $\sqrt{2}$，
∴∠DAG=45°+45°=90°，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{D{G}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴KG=KA-AG=6 $\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
②若翻折后，点D′在直线DK下方，记D′G与KH交于点L，连接D′K，如图3，
∴S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D′HL=S_△KGL，
∴HL=KL，GL=D′L，
∴四边形D′KGH是平行四边形，
∴KG=D′H=DH=$\frac{1}{2}$KD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
③若翻折后，点D′于点K重合，则重叠部分的面积等于S_△KGH=$\frac{1}{2}$S_△DGK，不合题意；
综上所述，KG=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或KG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．