[题目]已知在菱形 ABCD 中.∠ABC＝60°.M.N 分别是边 BC.CD 上的两个动点.∠MAN＝60°.AM.AN 分别交 BD 于 E.F 两点．(1)如图 1.求证:CM+CN＝BC,(2)如图 2.过点 E 作 EG∥AN 交 DC 延长线于点 G.求证:EG＝EA,(3)如图 3.若 AB＝1.∠AED＝45°.直接写出 EF 的长．(4)如图 3.若 AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】已知在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，M、N 分别是边 BC，CD 上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN 分别交 BD 于 E、F 两点．

（1）如图 1，求证：CM＋CN＝BC；

（2）如图 2，过点 E 作 EG∥AN 交 DC 延长线于点 G，求证：EG＝EA；

（3）如图 3，若 AB＝1，∠AED＝45°，直接写出 EF 的长．

（4）如图 3，若 AB＝1，直接写出BE＋AE的最小值

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF＝；（4）

【解析】

（1）由题意可得△ABC，△ACD都是等边三角形，然后求出∠BAM＝∠CAN，证明△BAM≌△CAN，得到BM＝CN，则CM＋CN＝CM＋BM＝BC；

（2）证明△ABE≌△CBE，得到AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，然后求出∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，得到∠ECG＝∠AND＝∠G，进而得出EC＝EG即可解决问题；

（3）如图 3 中，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADQ，AC和BD交于点O，连接FQ，易证△AFE≌△AFQ，然后可求出∠FQD＝90°，∠QDF＝60°，根据含30度角直角三角形的性质设DQ＝BE＝x，DF＝2x，EF＝FQ＝，再求出BD＝，进而列方程求出x即可；

（4）如图4，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AQ⊥BC于Q，则BE＋AE＝EH＋AE，可得当A、E、H三点共线时，EH＋AE最小，此时EH＋AE＝AQ，然后求出AQ即可.

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵AB＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，

∴△BAM≌△CAN，

∴BM＝CN，

∴CM＋CN＝CM＋BM＝BC；

（2）证明：如图 2 中，连接 EC．

∵BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，

∵EG∥AN，

∴∠G＝∠AND，

∵∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，

∵∠ECB＝∠BAE＝∠CAN，

∴∠ECG＝∠AND＝∠G，

∴EC＝EG，

∴EG＝EA；

（3）解：如图 3 中，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADQ，AC和BD交于点O，连接FQ，则∠MAN＝∠FAQ＝60°，

∵AE＝AQ，AF＝AF，

∴△AFE≌△AFQ，

∴∠AEF＝∠AQF＝45°，

∵∠AEB＝∠AQD＝135°，

∴∠FQD＝90°，

∵∠QDF＝∠ADQ＋∠ADF＝∠ABD＋∠ADF＝60°，

∴设DQ＝BE＝x，则DF＝2x，EF＝FQ＝，

∵AB＝AD＝1，∠ABD＝30°，

∴AO＝，BO＝，

∴BD＝2BO＝，

∴x＋2x＋＝，

∴x＝，

∴EF＝＝；

（4）解：如图4，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AQ⊥BC于Q，

∵∠EBH＝30°，

∴EH＝BE，

∴BE＋AE＝EH＋AE，

当A、E、H三点共线时，EH＋AE最小，此时EH＋AE＝AQ，

∵AB=1，∠ABQ＝60°，

∴BQ＝，

∴AQ＝，即BE＋AE的最小值为.

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>