【题目】如图,Rt△ABC,∠C=90°,点D为AB上的一点,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接AE.
(1)求证:AE平分∠BAC;
(2)若AC=8,OB=18,求BD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)12.
【解析】试题分析:(1)如图,连接OE.首先证明AC∥OE,推出∠CAE=∠AEO,由OA=OE,推出∠AEO=∠OAE=∠CAE即可证明.
(2)设OE=OA=OD=r,由OE∥AC,得,即,解方程即可.
试题解析:(1)证明:如图,连接OE.
∵BC是⊙O切线,∴OE⊥BC,∴∠OEB=90°,∵∠C=90°,∴∠C=∠OEB=90°,∴AC∥OE,∴∠CAE=∠AEO,∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE=∠CAE,∴AE平分∠CAB;
(2)解:设OE=OA=OD=r,∵OE∥AC,∴ ,即,∴r=6(负根已经舍弃),∴BD=OB﹣OD=18﹣6=12.
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【题目】某品牌店购进A种衬30件和B种衬衫40件共用了9600元,购进A种衬衫40件和B种衬衫20件共用了7800元.
(1)A、B两种衬衫的单价分别是多少元?
(2)已知该品牌店购进B种衬衫的件数比A种衬衫的件数的2倍少2件,如果购进A、B两种衬衫的总件数不少于97件,且该品牌购进A、B两种衬衫的总费用不超过13980元,那么该品牌店有哪几种购买方案?
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【题目】如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】某种电子产品共4件,其中有正品和次品.已知从中任意取出一件,取得的产品为次品的概率为.
(1)该批产品有正品________件;
(2)如果从中任意取出2件,利用列表或树状图求取出2件都是正品的概率.
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【题目】某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.
(1)求∠PCQ的度数;
(2)当AB=4,AP:BP=1:3时,求PQ的长;
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A、C重合),请写出一个反映PA2、PC2、PB2之间关系的等式,并加以证明.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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