Question

【题目】已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；

（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；（2）存在点，使四边形的面积最大；点的坐标为，四边形面积的最大值为32.

【解析】

（1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式，再解出抛物线解析式y=0是的两个根，即可得到A，B的坐标；

（2）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点,使四边形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案.

解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：.

当时，，解得，，

∴点的坐标为，点的坐标为.

答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为.

（2）当时，，∴点的坐标为.

设直线的解析式为，

将,代入得，解得，

∴直线的解析式为.

假设存在点,使四边形的面积最大，

设点的坐标为，

如图所示，过点作轴，交直线于点，

则点的坐标为，

则，

∴

∴当时，四边形的面积最大，最大值是32

∵，

∴存在点,使得四边形的面积最大.

答：存在点，使四边形的面积最大；点的坐标为，四边形面积的最大值为32.