Question

【题目】已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：△AOD≌△EOC；

（2）连接AC、DE，当∠B=∠AEB=45°时，求证四边形 ACED是正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；
（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．

∵O是CD的中点，∴OC=OD，

在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．

∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．

又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．

∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠COE=∠BAE=90°．∴□ACED是菱形．

∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．

∴菱形ACED是正方形．