【题目】如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,连接AC、OC、BC
(1)求证:∠ACO=∠BCD;
(2)若EB=8cm,CD=24cm,求⊙O的面积.(结果保留π)
【答案】(1)见解析;(2)169π(cm2).
【解析】
(1)根据垂径定理,即可得=,根据同弧所对的圆周角相等,证出∠BAC=∠BCD,再根据等边对等角,即可得到∠BAC=∠ACO,从而证出∠ACO=∠BCD;
(2)根据垂径定理和勾股定理列出方程,求出圆的半径,即可求出圆的面积.
解:(1)∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴=.
∴∠BAC=∠BCD.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO.
∴∠ACO=∠BCD;
(2)∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE=CD=×24=12(cm).
在Rt△COE中,设CO为r,则OE=r﹣8,
根据勾股定理得:122+(r﹣8)2=r2
解得r=13.
∴S⊙O =π×132=169π(cm2).
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【题目】如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,在RtΔABC,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,动点M、N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,MN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,ΔMCN面积为2cm?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积为cm?若存在,求t的值,若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】先阅读下列材料,然后解后面的问题.
材料:一个三位自然数 (百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个三位数为“欢喜数”,并规定F()=ac.如374,因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数”,∴F(374)=3×4=12.
(1)对于“欢喜数”,若满足b能被9整除,求证:“欢喜数”能被99整除;
(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m,n(m>n),若F(m)﹣F(n)=3,求m﹣n的值.
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【题目】如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=2,BC=12,DC=10,若在边DC上有点P,使△PAD与△PBC相似,则这样的点P有_____个.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动,将△AEF沿EF折叠,使点A′在BC边上,当折痕EF移动时,点A′在BC边上也随之移动.则A′C的取值范围为_____.
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【题目】小明到商场购买某个牌子的铅笔支,用了元(为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔降阶,于是他比上一次多买了支铅笔,用了元钱,那么小明两次共买了铅笔________支.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED,点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数;
(2)如图2,若=60°时,点F是边AC中点,求证:四边形BFDE是平行四边形.
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【题目】传统的端午节即将来临,某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:
y=
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只?
(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)
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