【题目】如图,△ABC为等边三角形,点D为BC边上一动点(不与点B,C重合),∠DAE=60°,过点B作BE∥AC交AE于点E.
(1)求证:△ADE是等边三角形;
(2)当点D在何处时,AE⊥BE?指出点D的位置,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)当点D为BC的中点时,AE⊥BE,理由见解析.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质得到AB=AC,∠BAC=∠C=60°,由∠DAE=60°得到∠DAE=∠BAC,推出∠EAB=∠DAC,根据平行线的性质得到∠EBA=∠BAC,推出∠EBA=∠C,证得△AEB≌△ADC,根据全等三角形的性质得到AE=AD,即可得到结论;
(2)当D为AC中点时.根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC,于是得到∠ADC=90°,根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠ADC=90°,可得结论.
(1) 证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,
∵∠DAE=60°
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD,
∴∠EAB=∠DAC,
∵BE∥AC,
∴∠EBA=∠BAC,
∴∠EBA=∠C,
在△AEB和△ADC中,
,
∴△AEB≌△ADC,
∴AE=AD,
∵∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形;
(2) 当D为AC中点时.
∵AB=AC,D为AC中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵△AEB≌△ADC,
∴∠AEB=∠ADC=90°,
∴AE⊥BE.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点A(m,2),将直线y=2x向下平移4个单位后与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点P,则k=;△POA的面积为 .
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【题目】李大伯承包了一片荒山,在山上种植了一部分优质油桃,今年已进入第三年收获期.今年收获油桃6 912千克,已知李大伯第一年收获的油桃重量为4 800千克.试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率,照此增长率,预计明年油桃的产量为多少千克?
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【题目】在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时,张红发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍,于是她假设:S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,然后在①式的两边都乘以3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②,②一①得:3S﹣S=39﹣1,即2S=39﹣1,∴S= .得出答案后,爱动脑筋的张红想:如果把“3”换成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值?如能求出,其正确答案是 .
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【题目】已知如图,一天上午6点钟,言老师从学校出发,乘车上市里开会,8点准时到会场,中午12点钟回到学校,他这一段时间内的行程s(km)(即离开学校的距离)与时间(时)的关系可用图中的折线表示,根据图中提供的有关信息,解答下列问题:
(1)开会地点离学校多远?
(2)请你用一段简短的话,对言老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述.
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【题目】分式中,在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数低于分母的次数,称这样的分式为真分式.例如,分式是,是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数,称这样的分式为假分式.例如,分式,是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如,==1-.
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和;
(2)如果分式的值为整数,求x的整数值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论:
①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED,其中一定成立的是( )
A.②④⑤⑥
B.①③⑤⑥
C.②③④⑥
D.①③④⑤
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【题目】如图,在锐角△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,当SABC=6,AC=4时,BM+MN的最小值等于_______。
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