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【题目】如图,△ABC为等边三角形,点D为BC边上一动点(不与点B,C重合),∠DAE=60°,过点B作BE∥AC交AE于点E.

(1)求证:△ADE是等边三角形;

(2)当点D在何处时,AE⊥BE?指出点D的位置,并说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)当点D为BC的中点时,AE⊥BE,理由见解析.

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到AB=AC,BAC=C=60°,由∠DAE=60°得到∠DAE=BAC,推出∠EAB=DAC,根据平行线的性质得到∠EBA=BAC,推出∠EBA=C,证得AEB≌△ADC,根据全等三角形的性质得到AE=AD,即可得到结论;
(2)当DAC中点时.根据等腰三角形的性质得到ADBC,于是得到∠ADC=90°,根据全等三角形的性质得到∠AEB=ADC=90°,可得结论.

(1) 证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
AB=AC,BAC=C=60°,
∵∠DAE=60°
∴∠DAE=BAC,
∴∠DAE-BAD=BAC-BAD,
∴∠EAB=DAC,
BEAC,
∴∠EBA=BAC,
∴∠EBA=C,
AEBADC中,

∴△AEB≌△ADC,
AE=AD,
∵∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形;

(2) DAC中点时.
AB=AC,DAC中点,
ADBC,
∴∠ADC=90°,
∵△AEB≌△ADC,
∴∠AEB=ADC=90°,
AEBE.

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