Question

8．如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点． 
（1）求证：AB=AC；
（2）若BC=16，⊙O的半径是5，求AI的长．

Answer 1

分析 （1）延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，根据内心的性质得∠OBI=∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC；
（2）由OI∥BC，得到△AOI∽△ABD，得到比例式，再根据勾股定理求得AD=$\sqrt{AB2-BD2}$=$\frac{32}{3}$，于是就可得．

解答 解：（1）延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，
∵OB=OI，
∴∠OBI=∠OIB，
∴∠DBI=∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI为⊙O的切线，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC；

（2）∵OI∥BC，
∴△AOI∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OI}{BD}$=$\frac{AI}{AD}$，
∴$\frac{AB-5}{AB}$=$\frac{5}{8}$，
∴AB=$\frac{40}{3}$，
∴AD=$\sqrt{AB2-BD2}$=$\frac{32}{3}$，
∴AI=$\frac{OI}{BD}$•AD=$\frac{5}{8}$×$\frac{32}{3}$=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．