Question

3．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF 于G，下列结论：①∠DAF=15°；②AC垂直平分EF；③BE+DF=EF；④S_△CEF=2S_△ABE，其中正确结论是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质对各项逐一判断即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴EC=FC，
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△AFC，
∴∠EAC=∠FAC=30°，
∴AC垂直平分EF，故②成立；
∴∠DAF=∠CAD-∠FAC=45°-30°=15°，故①成立；
设BE=DF=x，则EC=FC=2-x，
∴$EF=\sqrt{E{C^2}+F{C^2}}=\sqrt{2}（2-x）$，
∵AB²+BE²=AE²=EF²，即4+x²=2（2-x）²，解得$x=4-2\sqrt{3}$，
∴$BE+DF=2x=8-4\sqrt{3}$，$EF=\sqrt{2}（2-x）=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}≠BE+EF$，${S_{△CEF}}=\frac{1}{2}E{C^2}=\frac{1}{2}{（2-x）^2}=\frac{1}{2}{（2\sqrt{3}-2）^2}=8-4\sqrt{3}$，$2{S_{△ABE}}=AB•BE=2（4-2\sqrt{3}）=8-4\sqrt{3}$，
∴S_△CEF=2S_△ABE，
故选C

点评 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定进行分析解答．