Question

8．（1）如图1，两个等腰直角三角形ABC，BDE的顶点E，B，C在一条直线上，连接AD，点F是AD中点，连接EF，CF．则线段EF与CF有怎样的关系？请说明理由．
（2）如图2，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）延长EF交CA的延长线于点G，由点F是AD的中点，得到AF=DF由已知条件△ACB与△BED都是等腰直角三角形，推出三角形全等的条件，关键直角三角形的性质得出结论．
（2）在AB上取E使BE=BC，由BD是等腰三角形ABC底角平分线，得到∠CBD=∠EBD，由BD=BD，推出三角形的全等△BCD≌△BED，得到CD=DE，由于AB=BC+CD，且AE=ED=DC，∠C=∠BED=2∠A=∠A+∠B=180°-∠C，得到结果∠C=90°．

解答 解：（1）如图1，延长EF交CA的延长线于点G，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF
∵△ACB与△BED都是等腰直角三角形，
∴AC∥DE，
∴∠G=∠DEF，∠GAF=∠EDF，
在△AGF与△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DEF}\\{∠GAF=∠EDF}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△DEF，
∴DE=AG，点F是EG的中点，
∴EB=DE，CE=CG，
∵△GCE中，∠GCE=90°，
∴EF=CF，EF⊥CF；

（2）如图2，在AB上取E使BE=BC，
∵BD是等腰三角形ABC底角平分线，
∴∠CBD=∠EBD，
∵BD=BD，
在△BCD与△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠EBD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BED，
∴CD=DE，
∵AB=BC+CD，
且AE=ED=DC，∠C=∠BED=2∠A=∠A+∠B=180°-∠C，
∴∠C=90°．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．