Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．

①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；

②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；

（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①n＝m2+m；②P（，﹣）；（3）存在，BN＝2或2或2

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；

（2）①AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，即可求解；

（3）分BC是边、BC是对角线两种情况，分别求解即可．

（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），

①将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），

n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；

②连接AP交y轴于点H，

同理可得：直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）x+m﹣3，

则OH＝3﹣m，则CH＝m，

△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，

解得：m＝（不合题意的值已舍去），

故点P（，﹣）；

（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点P（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，点N（1，s），

①当BC是边时，

点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，

同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），

即1±3＝m，s±3＝n，

解得：m＝4或﹣2，s＝2或0，

故点N（1，2）或（1，0），则BN＝2或2；

②当BC是对角线时，

由中点公式得：3＝m+1，3＝s+n，

解得：s＝6，故点N（1，6），则BN＝2，

综上，BN＝2或2或2．