Question

4．如图，已知长方形ABCD纸片，AB=8，BC=4，若将纸片沿AC折叠，点D落在D′，则重叠部分的面积为10．

Answer 1

分析 过点F作FE⊥AC，垂足为E，由勾股定理得：AC=4$\sqrt{5}$，然后证明△ACF为等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得AE的长，接下来证明△AEF∽△ABC，从而可求得EF的长为$\sqrt{5}$，最后根据三角形的面积公式求得△ACF的面积即可．

解答 解：如图所示：过点F作FE⊥AC，垂足为E．

由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB．
由翻折的性质可知：∠DCA=∠D′CA．
∴∠FAC=∠FCA．
∴AF=CF．
又∵FE⊥AC．
∴AE=CE=2$\sqrt{5}$．
∵∠EAF=∠BAC，∠FEA=∠CBA=90°，
∴△AEF∽△ABC．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{CB}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{8}=\frac{EF}{4}$．
∴EF=$\sqrt{5}$．
∴${S}_{△ACF}=\frac{1}{2}AC•EF=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}$=10．
故答案为：10．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、翻折变换，证得△ACF为等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得AE的长是解题的关键．