Question

9．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：
（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）求出点D为DB的中点，根据直角三角形性质得出OC=BC，推出OC=BC=OB，根据等边三角形判定推出即可；
（2）求出∠ACB=90°，AD=AB=10，根据勾股定理求出AE=6，求出EB=4，证出△AEF∽△DEB，得出比例式，即可求出答案．

解答 （1）△COB是等边三角形，
证明：∵DE⊥AB，
∴∠DOB=90°，
又∵DC=BC，
∴点D为DB的中点，
∴OC=BC，
∴OC=BC=OB，
∴△COB是等边三角形；

（2）解：连接AD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC=BC，
∴AD=AB=10，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴EB=4，
又∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
∵DE⊥AB
∴∠AEF=∠DEB=90°
∴△AEF∽△DEB，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{AE}{DE}$，
∴$\frac{EF}{4}$=$\frac{6}{8}$，
∴EF=3．

点评 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．