Question

【题目】已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点、点的运动时间为

（1）当时，求经过点，，三点的抛物线的解析式；

（2）当时，求的值；

（3）当线段与线段相交于点，且时，求的值；

（4）连接，当点，在运动过程中，记△与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）；（3）t为3s；（4）S=

【解析】

（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）当t＝2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；

（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；

（4）当点Q在线段OA上时，S＝S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S＝S四边形BCQM＝S矩形OABCS△COQS△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S＝S△CBM，可求得答案．

解：（1）当t=1s时，则CP=2，

∵OC=3，四边形OABC是矩形，

∴P（2，3），且A（4，0），

∵抛物线过原点O，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

∴，解得，

∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+3x；

（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，

∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，

∴tan∠QPA==；

（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，

则CP=2t，OQ=t，

∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，

∵PC∥OA，

∴△PBM∽△QAM，

∴，且BM=2AM，

∴=2，解得t=3，

∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；

（4）当0≤t≤2时，如图3，

由题意可知CP=2t，

∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，

由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，

同（3）可得=，

∴BM=AM，

∴3﹣AM=AM，解得AM=，

∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；

当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，

由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，

∵AB∥OC，

∴，即=，解得AM=，

∴BM=3﹣，

∴S=S△BCM=×4×；

综上可知S=．