Question

【题目】如图，抛物线l1：y1＝a(x+1)2+2与l2：y2＝﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1，﹣2)，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：

①无论x取何值，y2总是负数；

②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；

④四边形AECD为正方形．

其中正确的是(　　)

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣(x﹣2)2﹣1≤-1＜0，可得无论x取何值，y2总是负数；

②由抛物线l1：y1＝a(x+1)2+2与l2：y2＝﹣(x﹣2)2﹣1交于点B（1，-2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

③由 y1- y2=-(x+1)2+2-[- (x﹣2)2﹣1]=-6x+6，可得随着x的增大，y1- y2的值减小；

④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．

解：①∵（x﹣2）2≥0，

∴﹣（x﹣2）2≤0，

∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，

∴无论x取何值，y2总是负数；

故①正确；

②∵抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），

∴当x＝1时，y＝﹣2，

即﹣2＝a（1+1）2+2，

解得：a＝﹣1；

∴y1＝﹣（x+1）2+2，

∴l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

故②正确；

③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，

∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；

故③错误；

④设AC与DE交于点F，

∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，

解得：x＝﹣3或x＝1，

∴点A（﹣3，﹣2），

当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，

解得：x＝3或x＝1，

∴点C（3，﹣2），

∴AF＝CF＝3，AC＝6，

当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，

∴DE＝6，DF＝EF＝3，

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AC＝DE，

∴四边形AECD为矩形，

∵AC⊥DE，

∴四边形AECD为正方形．

故④正确．

故选：C．