Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．

(1)证明：BD是⊙O的切线；

(2)若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；

(3)在(2)的条件下，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为5；（3）DF=2

【解析】

（1）证明△BDO≌△BCO（SSS），则∠BDO=∠ABC=90°，即可求解；

（2）在Rt△ADC中，tan∠ACD=tan∠AMD=，则AD=2，CD=4，即可求解；

（3）证明△DAE∽△BOC，则，即，解得：BC=10，则FE=AE=2，DF=DE-EF=2．

解：（1）在△BDO和△BCO中，

BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，

故△BDO≌△BCO（SSS），

∴∠BDO＝∠ABC＝90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，

AB是直径，故∠ADC＝90°，

在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝，

∵AD＝2，

∴CD＝4，

∴AC＝，

故圆的半径为5；

（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，

则DE＝，则AE＝2，

由（1）知△BDO≌△BCO，

∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，

∵∠DAE＝∠DOC，

∴∠DAE＝∠BOC，

∵ED⊥AC，

∴∠AED＝∠OCB＝90°，

∴△DAE∽△BOC，

∴，即，解得：BC＝10，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∴∠FAE＝∠AFE＝45°，

∴FE＝AE＝2，

∴DF＝DE﹣EF＝2．