【题目】如图,矩形AOBC,点A、B分别在x、y轴上,对角线AB、OC交于点D,点C( ,1),点M是射线OC上一动点.
(1)求证:△ACD是等边三角形;
(2)若△OAM是等腰三角形,求点M的坐标;
(3)若N是OA上的动点,则MA+MN是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明:∵C( ,1),
∴AC=1,OA= ,
∴OC=2,
∴∠COA=30°,∠OCA=60°,
∵矩形AOBC,
∴AD=CD=OD
且∠OCA=60°
∴△ACD是等边三角形
(2)解:△OAM是等腰三角形,
当OM=MA时,此时点M与点D重合,
∵C( ,1),点D为OC中点,
∴M( ,
).
当OM1=OA时,做M1E⊥OA,垂足为E,如下图:
∴OM1=OA= ,
由(1)知∠M1OA=30°,
∴M1E= ,OE=
,
∴M1( ,
).
当OA=OM2时,做M2F⊥OA,垂足为F,如上图:
AM2= ,
由(1)知∠COA=∠AM2O=30°,
∴∠M2AF=60°,
∴AF= ,M2F=
,
M2( ,
).
综上所述:点M坐标为M( ,
)、(
,
)、(
,
)
(3)解:存在,做点A关于直线OC对称点为G,如下图:
则AG⊥OC,且∠GOA=60°OG=OA= ,
∴ON= ,GN=
,
∵点A、G关于直线OC对称,
∴MG=MA,
∴MA+MN=MG+MN,
∵N是OA上的动点,
∴当GN⊥x轴时,MA+MN最小,
∴存在MA+MN存在最小值,最小值为 .
【解析】(1)利用点C(3,1),即可求出相应角度为30°,则∠OCA=60°,根据矩形的性质和直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半,则得出了有两边相等,且有一个角是60°,即可证明三角形是等边三角形;
(2)此问结合了分类讨论的思想,由等腰三角形性质,对三角形OAM三边关系进行讨论,分别求出三种情况讨论,三种情况都是转换不同的边为底边,另外两边相等,然后根据不同的情况求出点M的坐标即可;
(3)根据最短路径探究,做点A关于直线OC对称点,利用对称性可以求出最小值。
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和矩形的性质的相关知识点,需要掌握在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等才能正确解答此题.
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【题目】如图,直线l:y=x﹣ 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点,抛物线y=
x2+bx+c经过点B(﹣1,0)和点C.
(1)填空:直接写出抛物线的解析式:_____;
(2)已知点Q是抛物线y=x2+bx+c在第四象限内的一个动点.
①如图,连接AQ、CQ,设点Q的横坐标为t,△AQC的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
②连接BQ交AC于点D,连接BC,以BD为直径作⊙I,分别交BC、AB于点E、F,连接EF,求线段EF的最小值,并直接写出此时Q点的坐标.
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【题目】已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+2m﹣1=0.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)若抛物线y=x2﹣(m+2)x+2m﹣1=0与x轴有两个交点都在x轴正半轴上,求m的取值范围;
(3)填空:若x2﹣(m+2)x+2m﹣1=0的两根都大于1,则m的取值范围是_____.
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE.
(1)求证:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,则△AEF的周长为________cm.
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【题目】某中学计划组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话:
李老师:“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用,60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”
小芳:“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租用4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观,一天的租金共计5000元.”
小明:“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”
根据以上对话,解答下列问题:
(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元?
(2)按小明提出的租车方案,九年级师生到该公司租车一天,共需租金多少元?
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【题目】如图1所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1 , y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:A,B两地相距千米;货车的速度是千米/时.
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数表达式;
(3)客、货两车何时相遇?
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【题目】已知在长方形ABCD中,AB=4,BC= ,O为BC上一点,BO=
,如图所示,以BC所在直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,M为线段OC上的一点.
(1)若点M的坐标为(1,0),如图①,以OM为一边作等腰△OMP,使点P在y轴上,则符合条件的等腰三角形有几个?请直接写出所有符合条件的点P的坐标;
(2)若点M的坐标为(1,0),如图①,以OM为一边作等腰△OMP,使点P落在长方形ABCD的一边上,则符合条件的等腰三角形有几个?请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
(3)若将(2)中的点M的坐标改为(4,0),其它条件不变,如图②,那么符合条件的等腰三角形有几个?求出所有符合条件的点P的坐标.
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