精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.

(1)求证:直线CP是⊙O的切线;

(2)若BC=2,sin∠BCP=,求⊙O的半径及△ACP的周长.

【答案】(1)证明见解析;(2)20.

【解析】

(1)欲证明直线CP是⊙O的切线,只需证得CPAC;

(2)利用正弦三角函数的定义求得⊙O的直径AC=5,则⊙O的半径为.如图,过点BBDAC于点D,构建相似三角形:CAN∽△CBD,所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段BD=4;然后在直角BCD中,利用勾股定理可以求得CD=2,所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度.则ACP的周长迎刃可解了.

(1)证明:连接AN,

∵∠ABC=ACB,AB=AC,

AC是⊙O的直径,∴ANBC,

∴∠CAN=BAN,BN=CN,

∵∠CAB=2BCP,

∴∠CAN=BCP.

∵∠CAN+ACN=90°,

∴∠BCP+ACN=90°,

CPAC

OC是⊙O的半径

CP是⊙O的切线;

(2)∵∠ANC=90°,sinBCP=

=

AC=5,

∴⊙O的半径为.

如图,过点BBDAC于点D.

由(1)得BN=CN=BC=

RtCAN中,AN=

CANCBD中,

ANC=BDC=90°,ACN=BCD,

∴△CAN∽△CBD,

BD=4.

RtBCD中,CD=

AD=AC-CD=5-2=3,

BDCP,

CP=,BP=

∴△APC的周长是AC+PC+AP=20.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】ABC中,BC10ACAB6.过C作∠BAC的角平分线的垂线,则SBDC的最大值为(  )

A.10B.15C.20D.25

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】计算.

1×3

21

3

4

5

6)解方程:

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在已知的ABC,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MNAB于点D,连接CD.CD=AC,A=50°,则∠ACB的度数为(  )

A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,甲、乙两数学兴趣小组测量山CD 的高度. 甲小组在地面A处测量,乙小组在上坡B处测量,AB=200 m. 甲小组测得山顶D的仰角为45°,山坡B处的仰角为30°;乙小组测得山顶D 的仰角为58°. 求山CD的高度(结果保留一位小数).参考数据:,供选用.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图ABC已知点D在线段AB的反向延长线上AC的中点F作线段GEDAC的平分线于EBCGAEBC

(1)求证ABC是等腰三角形

(2)AE=8,AB=10,GC=2BGABC的周长

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3,… 组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2019秒时,点P的坐标是________________

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车,今年一月份销售额为30000元,二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元.

(1)求二月份每辆车售价是多少元?

(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售,网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】在平行四边形ABCD中,AB=10∠ABC=60°,以AB为直径作⊙O,边CD⊙O于点E

(1)圆心OCD的距离是______

(2)求由弧AE、线段ADDE所围成的阴影部分的面积.(结果保留π和根号)

查看答案和解析>>

同步练习册答案