Question

小明将两个全等的等腰三角板摆放在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE=12．
（1）如图1，当D与C点重合时，CF、CE分别与AB交于M、N两点，且量得AM=3，BN=4，小明发现AM、MN、BN存在某种数量关系，他想：当AM=a，BN=b，MN=c时，这种数量关系仍成立吗？请你一起探究并证明这个结论；
（2）如图2，当等腰Rt△DEF的顶点D恰好在AB的中点处时，DE、DF分别与AC、BC交于M、N，小明经测量后猜想，AM•BN是一个定值．你认可他的猜想吗？说明理由，若猜想成立，请求出该定值．
（3）在（2）的条件下，△DEF绕点D旋转，DE、DF所在的直线分别交线段AC和线段BC于点M、N，若CN=2

2

，求MN的长．

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：综合题

分析：（1）由小明量得的数据可猜想当AM=a，BN=b，MN=c时，有a²+b²=c²．可过点B作BG⊥AB，并使得BG=AM，连接CG、GN，从而将AM、NB归结到Rt△NBG中，只需证MN=GN，只需证△MCN≌△GCN，只需证∠MCN=∠NCG，CM=CG，只需证△AMC≌△BGC即可．
（2）由∠A=∠EDF=∠B=45°可证△AMD∽△BDN，根据相似三角形的性质可得AM•BN=AD•BD=36，从而解决问题．
（3）由条件可求出CA、CB的长，然后由CN可求出BN，再借用（2）中的结论可求出AM，从而可求出CM，在Rt△MCN中运用勾股定理就可解决问题．

解答：解：（1）∵AM=3，BN=4，AB=12，
∴MN=AB-AM-BN=12-3-4=5，
∴AM²+BN²=MN²．
猜想：当AM=a，BN=b，MN=c时，有a²+b²=c²．
理由如下：
过点B作BG⊥AB，并使得BG=AM，连接CG、GN，如图1，
则有∠ABG=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠GBC=45°．
在△AMC和△BGC中，

AM=BG ∠MAC=∠GBC AC=BC

，
∴△AMC≌△BGC（SAS），
∴CM=CG，∠ACM=∠BCG，
∴∠MCG=∠ACB=90°．
∵∠MCN=45°，
∴∠NCG=∠MCG-∠MCN=45°，
∴∠MCN=∠NCG．
在△MCN和△GCN中，

CM=CG ∠MCN=∠NCG CN=CN

，
∴△MCN≌△GCN（SAS），
∴MN=GN．
在Rt△NBG中，
∵∠NBG=90°，
∴BN²+BG²=GN²，
∴BN²+AM²=MN²．

（2）小明的猜想正确．
理由如下：
如图2，
由题可得∠A=∠MDN=∠B=45°，
∵∠MDB=∠A+∠AMD=∠MDN+∠NDB，
∴∠AMD=∠NDB，
∴△AMD∽△BDN，
∴

AM

BD

=

AD

BN

，
∴AM•BN=AD•BD．
∵D为AB的中点，AB=12，
∴AD=BD=6，
∴AM•BN=36．
∴AM•BN是一个定值，该定值为36．

（3）连接MN，如图3，
在Rt△ACB中，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=12，
∴AC=BC=6

2

．
∵CN=2

2

，∴BN=4

2

．
∵AM•BN=36．
∴AM=

9 2

2

，
∴CM=CA-AM=6

2

-

9 2

2

=

3 2

2

．
在Rt△MCN中，
∵∠C=90°，
∴MN²=CM²+CN²=（

3 2

2

）²+（2

2

）²
=.

18

4

+8=

50

4

，
∴MN=

5 2

2

．
∴MN的长为

5 2

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，将AM、BN、MN归结到同一个直角三角形中是解决第（1）小题的关键，证明△AMD∽△BDN是解决第（2）小题的关键，运用（2）中的结论则是解决第（3）小题的关键．