Question

【题目】在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．
（1）如图，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PQ⊥AB，

∴∠EQB=∠C=90°，

∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠CBD=∠EBQ，

∵∠PED=∠BEQ，

∴∠PDE=∠PED

（2）解：当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF∥BD，

理由为：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角，

∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，

∴PF∥BD；

当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD，

理由为：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PM为∠CPQ的平分线，

∴PF⊥BD

【解析】（1）由PQ与AB垂直，得到一对直角相等，理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余，再BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由对顶角相等，利用等量代换即可得证；（2）分两种情况，当P在线段AC上时，如图1所示，可得出PF与BD平行，由第一问的结论利用等角对等边得到PD=PE，利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；当P在AC延长线时，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三线合一即可得证．
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定和三角形的内角和外角的相关知识点，需要掌握同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．