Question

已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是直线AC上一点，连接BD，作AE⊥BD，垂足为E，连接EC.

（1）如图1，D在AC延长线上，AC > CD，求证：EA-EB=EC；

（2）当D在AC上（图2）或D在CA延长线上（图3）时，EA、EB、EC三条线段的数量关系如何？直接写出你探究的结论.

 

Answer 1

（1）证明：在AE上截取AF=EB，连接CF--------1

∵AE⊥BD

∴∠AEB=90°

∴∠AEB=∠ACB=90°

又∵∠AGC=∠BGE

∴∠GAC=∠GBE------------------------------------------------2

又∵CA=CB，AF=BE

∴△FAC≌△EBC---------------------------------------------------------------------------3

∴FC=EC，∠ ACF=∠BCE

∴∠ECF=∠BCE+∠GCF=∠ ACF+∠GCF=∠ACB=90°----------------------------4

∴EF=--------------------------------------5

∴EA- EB= EA- AF= EF=EC

即EA- EB= EC               ---------------------------------------------------6

（2）当D在AC上（图2）时， EB- EA = EC     -------------------------9

    当 D在CA延长线上（图3）时，EA+EB= EC   ----------------------12