Question

【题目】如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，EF与CD交于点M，CF与BE交于点N．

（1）若∠D＝70°，∠BED＝30°，则∠EMA＝　 　（度）；

（2）若∠B＝60°，∠BCD＝40°，则∠ENC＝　 　（度）；

（3）∠F与∠B、∠D有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）85；（2）80；（3）∠F＝（∠B+∠D）．

【解析】

（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可；

（2）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可；

（3）利用三角形外角的性质求得∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF，利用角平分线的性质可证得∠B+∠D＝2∠F，从而求得答案.

（1）∵EF为∠BED的平分线，∠BED＝30°，

∴∠DEM＝∠FEN＝∠BED＝15°．

又∵∠EMA＝∠D+∠DEM，∠D＝70°，

∴∠EMA＝85°．

故答案为：85°．

（2）∵CF为∠BCD的平分线，∠BCD＝40°，

∴∠BCN＝∠FCM＝∠BCD＝20°．

又∵∠ENC＝∠B+∠BCN，∠B＝60°，

∴∠ENC＝80°．

故答案为：80°．

（3）∠F＝（∠B+∠D）．

证明：∵∠EMA＝∠D+∠DEF＝∠F+∠DCF，

∠ENC＝∠B+∠BCF＝∠F+∠BEF，

∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF．

又∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，

∴∠DEF＝∠BEF，∠DCF＝∠BCF．

∴∠B+∠D＝2∠F．

即：∠F＝（∠B+∠D）．