Question

【题目】如图，是的直径，是上一点，平分，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，则的长度为 ．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）．

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到∠DAC=∠OCA，证明OC∥AD，根据平行线的性质得到∠OCD=∠ADC=90°，根据切线的判定定理证明；

（2）通过，∠OCD=90°，可求得∠OCA，从而可求得∠AOC，再通过直径求出半径，代入弧长公式计算即可．

（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵，

∴∠OCA=∠OCD-∠ACD=90°-40°=50°，

∴∠OAC=∠OCA=50°，

∴∠AOC=180°-50°-50°=80°，

∵，

∴AO=3，

∴，

故答案为：．