Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于点E，交CA的延长线于D，交AB于点F，求证：AE²=EF•ED．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】利用直角三角形的性质以及等角对等边得出∠B=∠EAB，∠B=∠D，进而得出△AEF∽△DEA，即可得出答案．

【解答】解：∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，∠D+∠C=90°，

∴∠B=∠D，

∵BC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC=90°．

∴BE=EA，

∴∠B=∠BAE，

∴∠D=∠BAE，

∵∠FEA=∠AED，

∴△FEA∽△AED，

∴=

∴AE²=EF•ED．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，根据已知得出∠EAB=∠D是解题关键．