Question

19．当x、y、z为非负数，且$\left\{\begin{array}{l}{3x+3y+z=4}\\{x-3y-2z=-3}\end{array}\right.$，求t=3x-2y+z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 解方程组得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将t转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到t的最大值和最小值．

解答 解：解$\left\{\begin{array}{l}{3x+3y+z=4①}\\{x-3y-2z=-3②}\end{array}\right.$
①+②得，4x-z=1，
则z=4x-1，
将z=4x-1代入①可解得，7x+3y=5，
则y=$\frac{5-7x}{3}$．
因为y，z均为非负数，
所以$\left\{\begin{array}{l}{4x-1≥0}\\{\frac{5-7x}{3}≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{5}{7}$．
于是，
t=3x-2y+z=3x-2（$\frac{5-7x}{3}$）+（4x-1）
=$\frac{35}{3}$x-$\frac{13}{3}$．
当x值增大时，t的值增大；当x值减小时，t的值减小．
故当x=$\frac{5}{7}$时，t有最大值4；当x=$\frac{1}{4}$时，t有最小值-$\frac{17}{12}$．

点评 此题考查了一次函数最值的求法，将y、z的转化为关于x的表达式及求出x的表达式是解题的关键．