Question

11．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．
（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为4；
（2）①求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；
②如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是1±3$\sqrt{5}$；
（3）如果点G（0，b）到抛物线y=x²的距离为3，请直接写出b的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可得点O（0，0）到⊙P的距离；
（2）①过点M作MH⊥l，垂足为点H，通过证明△EOF∽△MHE，由相似三角形的性质可得$MH=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$，从而得到点M到直线y=2x+1的距离；
②分两种情况：N在F点的上边；N在F点的下边；进行讨论先得到EN的长，进一步即可得到a的值；
（3）分两种情况：①点G在原点下面；②点G在原点上面；进行讨论即可得到b的值．

解答 解：（1）OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
点O（0，0）到⊙P的距离为5-1=4；
（2）①直线y=2x+1记为l，如图1，过点M作MH⊥l，垂足为点H，
设l与x，y轴的交点分别为E，F，则$E（-\frac{1}{2}，0），F（0，1）$．
∴$EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∵△EOF∽△EHM，
∴$\frac{MH}{OF}=\frac{ME}{EF}$，即$\frac{MH}{1}=\frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}}$．
∴$MH=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．
∴点M到直线y=2x+1的距离为$\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．
②N在F点的上边，如图2，过点N作NG⊥l，垂足为点G，
∵△EOF∽△NGF，
∴$\frac{NG}{EO}$=$\frac{NF}{EF}$，即$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=$\frac{a-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴a=1+3$\sqrt{5}$；
N在F点的下边，
同理可得a=1-3$\sqrt{5}$；
故$a=1±3\sqrt{5}$．
（3）①点G在原点下面，b=-3；
②点G在原点上面，$\sqrt{{x}^{2}+（{{x}^{2}-b）}^{2}}$=3，
x⁴+（1-2b）x²+b²-9=0，
△=（1-2b）²-4（b²-9）=-4b+37=0，
解得$b=\frac{37}{4}$．
故b的值是-3或$\frac{37}{4}$．
故答案为：4；1±3$\sqrt{5}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：勾股定理，相似三角形的判定和性质，根与判别式的关系，两点间的距离公式，方程思想，分类思想，综合性较强，有一定的难度．