Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，点E是AB中点，AB=10，则线段DE的长度为（　　）

• A、3
• B、5
• C、5

  2

• D、

  5 2

  2

Answer 1

考点：等腰直角三角形,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：利用CD、CE分别为斜边AB上的高和中线可得：“∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB”，再利用∠BCD与∠ACD之比为3：1即可求得∠ECD的大小，证得△CDE为等腰直角三角形．利用勾股定理可以求得CE=DE=

2

2

CE=

2

2

×

1

2

AB．

解答：解：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线，
∴CE=EB，∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB，
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=

1

2

∠ACB=

1

2

×90°=45°，
∴△EDC为等腰直角三角形，
∴CE=DE=

2

2

CE=

2

2

×

1

2

AB=

5 2

2

．
故选：D．

点评：本小题主要考查直角三角形中边角关系、三角形高和中线等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．