Question

如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=

2

3

r（r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）如图2，当F是AB的四等分点且EF•EC=

4

9

r2时，求EC的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，OE，利用垂径定理结合已知条件求出∠OCD=90°即可；
（2）连接OA，设OH=x，表示出HE，分别在Rt△OAH和Rt△EHA中利用勾股定理可解出x，再结合F是四等分点和已知关系可求出EC的值．

解答：（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，

∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
而OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切；
 （2）解：如图2，连接OA，

∵

AE

=

BE

，
∴AE=BE=

2

3

r，
设OH=x，则HE=r-x，
在Rt△OAH中，AH²+OH²=OA²，即AH²+x²=r²，
在Rt△EAH中，AH²+EH²=EA²，即AH²+（r-x）²=(

2

3

r)2，
∴x²-（r-x）²=r²-(

2

3

r)2，解得x=

7

9

r，
∴HE=r-

7

9

r=

2

9

r，
在Rt△OAH中，AH=

OA2-OH2

=

r2-( 7 9 r)2

=

4 2 r

9

，
∵OE⊥AB，
∴AH=BH，
而F是AB的四等分点，
∴HF=

1

2

AH=

2 2 r

9

，
在Rt△EFH中，EF=

HE2+HF2

=

( 2 9 r)2+( 2 2 r 9 )2

=

2 3

9

r，
∵EF•EC=

4

9

r2，
∴EC=

2 3

3

r．

点评：本题主要考查切线的判定及垂径定理，在（1）中掌握切线的判定方法是解题的关键，在（2）中求出HF的值是解题的关键．