Question

在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，BC=2，将Rt△ABC绕点B旋转至△BDE的位置，如图所示，且使A、B、D在同一条直线上，请在图中表示出AC边扫过的图形，并计算其面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：作BG⊥AC于G，BH⊥DE于H，如图，则点G为线段AB上离B点最近的点，再分别作出点A、点G、点C旋转时的路径，即对应的弧，由此得到AC边扫过的图形分两部分：第一部分为线段AC、弧CM、线段ME和弧AE所围长成的图形；第二部分为线段GC、弧GH、线段HD和弧DC所围成的图形，再利用解直角三角形得到
AB=

6

，BG=

3

，AC=

3

+1，接着利用旋转的性质得到∠EBD=∠ABC=75°，则∠CBM=30°，然后根据扇形面积公式和利用面积的和差分别计算两部分的面积，再把它们相加即可．

解答：解：作BG⊥AC于G，BH⊥DE于H，如图，
AC边扫过的图形分两部分：第一部分为线段AC、弧CM、线段ME和弧AE所围长成的图形；第二部分为
线段GC、弧GH、线段HD和弧DC所围成的图形．
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，
在Rt△BCG中，CG=

1

2

BC=1，BG=

3

CG=

3

，
在Rt△ABG中，AG=BG=

3

，AB=

2

BG=

6

，
∴AC=AG+GC=

3

+1，
∵Rt△ABC绕点B旋转至△EBD的位置，
∴∠EBD=∠ABC=75°，
∵A、B、D在同一条直线上，
∴∠CBM=180°-2×75°=30°，
线段AC、弧CM、线段ME和弧AE所围长成的图形的面积=S_扇形ABE-S_△ABC-S_扇形CBM
=

105•π•( 6 )2

360

-

1

2

•

3

•（

3

+1）-

30π•22

360

=

17

12

π-

3+ 3

2

，
线段GC、弧GH、线段HD和弧DC所围成的图形的面积=S_扇形CBD-S_扇形PBN
=

105•π•22

360

-

105•π•( 3 )2

360

=

7π

24

，
∴AC边扫过的图形的面积=

17

12

π-

3+ 3

2

+

7

24

π=

41

24

π-

3

2

-

3

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算．