Question

【题目】综合与实践：

如图，二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于点B，点C（点B在点C的左边），与y轴交于点A，连接AC，AB．

（1）求证：AO2=BOCO；

（2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，求当△AMN的面积取得最大值时，直线AN的表达式．

（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）y=﹣x+4；（3）OM2=AN．

【解析】试题分析：（1）由分别令求得的坐标，即可证明.

（2）设点则由NM∥AC，可求得 可用表示出的面积，则可用表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时的值，即可求得N点的坐标；进而用待定系数法求得直线AN的表达式.
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得

在和中，可分别求得AB和的长，可求得的长度，从而可得到OM和的数量关系．

试题解析：（1）当时， 整理得： 解得：

∴

令得：

∴

∴

∴

（2）设点 则

∵MN∥AC，

∵

∴当时，即 的面积最大．

设直线AN的表达式为

将点A和N的坐标代入得： 解得．

∴直线AN的表达式为

（3）

∴N为线段的中点．

∵MN∥AC，

∴M为AB的中点，

∴

∵

∴

∵

即OM与AN的数量关系是