【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P点坐标为(,)时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;(3)存在,.
【解析】
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得:,解得:,∴抛物线解析式为;
(2)
如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,在中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A点坐标为(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC解析式为y=x﹣3,设P点坐标为(x,),则M点坐标为(x,x﹣3),∵P点在第四限,∴PM= =,∴S△PBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,∵PM==,∴当x=时,PMmax=,则S△PBC==,此时P点坐标为(,),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即当P点坐标为(,)时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;
(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则∠AGP=∠GNC+∠GCN,当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中,∵∠AOC=∠NOB,OC=OB,∠ACO=∠NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N点坐标为(0,﹣1),设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得:,∴直线m解析式为,即存在满足条件的直线m,其解析式为.
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【题目】如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在EF上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积( )
A.由小到大 B.由大到小 C.不变 D.先由小到大,后由大到小
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【题目】如图(1)所示,∠AOB、∠COD都是直角.
(1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等,互余,还是互补的关系.请你用推理的方法说明你的猜想是合理的.
(2)当∠COD绕着点O旋转到图(2)所示位置时,你在(1)中的猜想还成立吗?请你证明你的结论.
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【题目】如图,在⊙O中,半径OA⊥OB,过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点,且CD=,以O为圆心,OC为半径作,交OB于E点.
(1)求⊙O的半径OA的长;
(2)计算阴影部分的面积.
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【题目】某种商品原售价200元,由于产品换代,现连续两次降价处理,按72元的售价销售.已知两次降价的百分率相同,若设降价的百分率为x,则可列出方程为________.
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【题目】在下列命题中,是真命题的是( )
A.两条对角线相等的四边形是矩形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=,以点A为圆心,AD为半径的圆与BC相切于点E,交AB于点F.
(1)求∠ABE的大小及的长度;
(2)在BE的延长线上取一点G,使得上的一个动点P到点G的最短距离为,求BG的长.
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