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【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.

(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;(3)存在,

【解析】

(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线解析式为

(2)

如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,在中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A点坐标为(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC解析式为y=x﹣3,设P点坐标为(x,),则M点坐标为(x,x﹣3),∵P点在第四限,∴PM= =,∴S△PBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,∵PM==,∴当x=时,PMmax=,则S△PBC==,此时P点坐标为(),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即当P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为

(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则∠AGP=∠GNC+∠GCN,当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中∵∠AOC=NOB,OC=OB,ACO=NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N点坐标为(0,﹣1),设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得,∴直线m解析式为,即存在满足条件的直线m,其解析式为

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