Question

13．已知关于x的一元二次方程x²-（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n=$\frac{8}{{x}_{1}+{x}_{2}-6}$，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，2），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=m²，易得△≥0，则根据判别式的意义可判断该一元二次方程总有两个实数根；
（2）由根与系数的关系得到x₁+x₂=m+6，则n=$\frac{6}{m}$，然后可根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，2）．

解答 （1）证明：△=（m+6）²-4（3m+9）
=m²，
∵m²≥0，即△≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，2）．理由如下：
根据题意得x₁+x₂=m+6，
而n=$\frac{8}{{x}_{1}+{x}_{2}-6}$，
∴n=$\frac{8}{m+6-6}$，
即n=$\frac{8}{m}$，
当m=4时，n=$\frac{8}{4}$=2，
∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，2）．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．