Question

8．已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D为BC的中点，E为边AC上的一点，且不与端点A、C重合，G在线段BE上，联结DG并延长交AE于点F，若∠FGE=45°，设AE=x，EF=y
（1）求证：△BDG∽△BEC；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）求y与x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出∠ABC=∠C=45°，∠BGD=∠FGE=45°，得出∠C=∠BGD，再由∠GBD=∠EBC，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出：BC=$\sqrt{2}$AB，由已知得BD=$\frac{1}{2}$BC，由△BDG∽△BEC，得出$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BG}{BC}$，求出$\frac{AB}{BG}$=$\frac{BE}{AB}$，由∠ABG=∠EBA，证得△ABG∽△EBA，即可得出结论；
可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE；
（3）由（2）得出∠AGE=90°=∠BAC，由已知条件得出GF平分∠AGE，由角平分线定理得出$\frac{EF}{AF}=\frac{EG}{AG}$，证明△AEG∽△BEA，得出对应边成比例$\frac{EG}{AG}=\frac{AE}{AB}$，得出$\frac{EF}{AF}=\frac{AE}{AB}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠BGD=∠FGE=45°，
∴∠C=∠BGD，
∵∠GBD=∠EBC，
∴△BDG∽△BEC；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴由勾股定理得：BC=$\sqrt{2}$AB，
∵D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
由（1）得：△BDG∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BG}{BC}$，
∴BG=$\frac{BD•BC}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•BC}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}×（\sqrt{2}AB）^{2}}{BE}$=$\frac{A{B}^{2}}{BE}$，
∴$\frac{AB}{BG}$=$\frac{BE}{AB}$，
∵∠ABG=∠EBA，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠BGA=∠BAE=90°，
∴AG⊥BE；
（3）解：由（2）得：∠BGA=90°，
∴∠AGE=90°=∠BAC，
∵∠FGE=45°，
∴GF平分∠AGE，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EG}{AG}$，
∵∠AEG=∠BEA，
∴△AEG∽△BEA，
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{y}{x-y}=\frac{x}{4}$，
解得：y=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$（0＜x＜4）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、角平分线定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要运用角平分线定理和证明三角形相似，得出对应边成比例才能得出结果．