Question

6．如图所示，在Rt△ABC中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm²．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．
（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由．

Answer 1

分析 （1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm²，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）结合（1）列出方程判断其根的情况即可．

解答 解：（1）设x秒后，△BPQ的面积为4cm²，此时AP=xcm，BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，
由$\frac{1}{2}$BP×BQ=4，得$\frac{1}{2}$（5-x）×2x=4，
整理得：x²-5x+4=0，
解得：x=1或x=4（舍去）．
当x=4时，2x=8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去．
答：1秒后△BPQ的面积为4cm²．
（2）由BP²+BQ²=5²，得（5-x）²+（2x）²=5²，
整理得x²-2x=0，
解方程得：x=0（舍去），x=2．
所以2秒后PQ的长度等于5cm；

（3）不可能．
设$\frac{1}{2}$（5-x）×2x=7，整理得x²-5x+7=0，
∵b²-4ac=-3＜0，
∴方程没有实数根，
所以△BPQ的面积为的面积不可能等于7cm²．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm²”“PQ的长度等于5cm”，得出等量关系是解决问题的关键．