Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O在AB上，⊙经过点A，与CB切于D，分别交AB、AC于E、F．
（1）求证：sin∠B=$\frac{CD}{BD}$；
（2）连CE，AD相交于P，sinB=$\frac{2}{5}$，求$\frac{CP}{EP}$．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据切线的性质得∠ODB=90°，而∠ACB=90°，则可判断OD∥AC，根据平行线分线段成比例定理得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AO}{OB}$，接着用OD代换OA得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{OD}{OB}$，然后在Rt△BOD中利用正弦的定义得sin∠B=$\frac{OD}{OB}$，所以sin∠B=$\frac{CD}{BD}$；
（2）由sin∠B=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{2}{5}$，可设OD=2x，OB=5x，易得AB=7x，AE=4x，再证明△BOD∽△BAC，利用相似比计算出AC=$\frac{14}{5}$x，接着证明AD平分∠CAE，然后根据角平分线定理求解．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
而∠ACB=90°，
∴OD∥AC，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AO}{OB}$，
而OA=OD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{OD}{OB}$，
在Rt△BOD中，sin∠B=$\frac{OD}{OB}$，
∴sin∠B=$\frac{CD}{BD}$；
（2）解：由sin∠B=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{2}{5}$，可设OD=2x，OB=5x，则AB=7x，AE=4x，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OB}{AB}$，即$\frac{2x}{AC}$=$\frac{5x}{7x}$，解得AC=$\frac{14}{5}$x，
∵OD∥AC，
∴∠ADO=∠DAC，
而OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAO=∠DAC，
即AD平分∠CAE，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CP}{PE}$，
即$\frac{CP}{EP}$=$\frac{\frac{14}{5}x}{4x}$=$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．