Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，四边形EFGH为△ABC的内接矩形，设EF=x，EH=y．
（1）试求出y与x之间的函数关系；
（2）若△AHE的面积是△ABC的面积的一半，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）求出△ABC和△EFC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求解即可；
（2）由（1）证得△AEH∽△ABC，于是得到$\frac{{S}_{△AEH}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EH}{BC}$）²=（$\frac{y}{10}$）²=$\frac{1}{2}$，求得y=5$\sqrt{2}$，代入y=-$\frac{5}{12}$x+10，即可得到结果．

解答 解：（1）过A作AD⊥BC与D，交EH于G，
∵四边形EFGH为△ABC的内接矩形，
∴EH∥BC，
∴AG⊥EH，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴AD=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴AG=$\frac{24}{5}$-x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{AG}{AD}$，
即：$\frac{y}{10}=\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$，
∴y=-$\frac{5}{12}$x+10；

（2）由（1）证得△AEH∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEH}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EH}{BC}$）²=（$\frac{y}{10}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴y=5$\sqrt{2}$，
∵y=-$\frac{5}{12}$x+10，
∴5$\sqrt{2}$=-$\frac{5}{12}$x+10；
解得：x=24-12$\sqrt{2}$．
∴EF=24-12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并准确识图确定出相似三角形是解题的关键．