Question

6．如图，平行四边形ABCD中，∠ACB=30°，将△ABC沿AC折叠，使得点B落在平行四边形ABCD所在的平面的点E处，则$\frac{AC+DE}{AD}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由折叠的性质得出△ABC≌△AEC，由SSS证出△ABC≌△ACD，得出△AEC≌△ACD，因此∠ACE=∠CAD=∠ACB=30°，AD=CE，AE=CD，AD与EC夹的钝角为120°，证出AC∥ED，得出四边形ACDE为等腰梯形，过点A作AF∥AE交DE延长线于F，则四边形ACEF为平行四边形，得出∠DAF=120°，AF=AD，作AM⊥DE交于M，则DM=FM，∠ADM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AD=2AM，DM=$\sqrt{3}$AM，DF=2DM=2$\sqrt{3}$AM，即可得出结果．

解答 解：∵△ABC沿AC折叠，使得点B落在平行四边形ABCD所在的平面的点E处，
∴△ABC≌△AEC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，AB=CD，
在△ABC和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BC=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ACD（SSS），
∴△AEC≌△ACD，
∴∠ACE=∠CAD=∠ACB=30°，AD=CE，AE=CD，AD与EC夹的钝角为120°，
∴过E、D点作AC边上的高则相等，
∴AC∥ED，
∴四边形ACDE为等腰梯形，
过点A作AF∥AE交DE延长线于F，
则四边形ACEF为平行四边形，
∴AC=EF，AF=CE，∠DAF=120°，
∴AF=AD，
作AM⊥DE交于M，
则DM=FM，∠ADM=30°，
∴AD=2AM，DM=$\sqrt{3}$AM，
∴DF=2DM=2$\sqrt{3}$AM，
∴$\frac{AC+DE}{AD}$=$\frac{EF+DE}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}AM}{2AM}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．