Question

1．如图，等腰直角△ACE，AC=AE=4$\sqrt{2}$，∠CAE=90°，点B是CE上一点，以AB为边向外作正方形ABMN，连接NE交BD于点D．
（1）求证：NE⊥CE；
（2）若BE=2，求ED的长度．

Answer 1

分析 （1）连接BN，由∠CAE=∠BAN=90°，得到∠CAB=∠EAN，推出△ACB≌△AEN，根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠AEN=45°=∠AEC，即可得到结论；
（2）过A作AK⊥CE于K，由△ACE是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CE=8，于是得到AK=CK=KE=4，KB=BE=2，根据余角的性质得到∠KAB=∠DBE，推出△AKB∽△BED，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）连接BN，∵∠CAE=∠BAN=90°，
∴∠CAB=∠EAN，
在△ACB与△AEN中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAB=∠EAN}\\{AB=AN}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△AEN，
∴∠ACB=∠AEN=45°=∠AEC，
∴∠CEN=90°，
∴CE⊥NE；

（2）过A作AK⊥CE于K，
∵△ACE是等腰直角三角形，AC=AE=4$\sqrt{2}$，
∴CE=8，
∴AK=CK=KE=4，KB=BE=2，
∵∠BED=∠AKB=90°，
∴∠ABK+∠KAB=∠ABK+∠DBE=90°，
∴∠KAB=∠DBE，
∴△AKB∽△BED，
∴$\frac{AK}{BE}=\frac{BK}{DE}$，
∴DE=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．