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【题目】四边形ABCD为菱形,点P为对角线BD上的一个动点.

(1)如图1,连接AP并延长交BC的延长线于点E,连接 PC,求证:∠AEB=∠PCD.
(2)如图1,当PA=PD且PC⊥BE时,求∠ABC的度数.
(3)连接AP并延长交射线BC于点E,连接 PC,若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形,求∠PEC的度数.

【答案】
(1)

证明:∵四边形ABCD是菱形,

∴∠PDA=∠PDC,AD=CD AD∥BC,

在△PAD与△PCD中,

∴△PAD≌△PCD(SAS),

∴∠PAD=∠PCD,

又∵AD∥BC,

∴∠AEB=∠PAD=∠PCD


(2)

解:如图1,

(方法一)∵PA=PD,

∴∠PAD=∠PDA,

设∠PAD=∠PDA=x,则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x

∵PC⊥BE

∴2x+x=90°,

∴x=30°,

∴∠ABC=2x=60°;

(方法二):延长CP交AD于M,

∵AD∥BC,PC⊥BC,

∴CM⊥AD

∵PA=PD,

∴△PAM≌△PDM (HL),

∴AM=DM,

∴CM垂直平分AD

连接AC,则AC=CD=BC=AB,

∴△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=60°


(3)

解:①当点E在BC的延长线上时,如图2,

△PCE是等腰三角形,则CP=CE,

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°,

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠PBA=∠PBC=45°,

在△ABP与△CBP中,

∴△ABP≌△CBP(SAS),

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP

∵∠BAP+∠PEC=90°,2∠PEC+∠PEC=90°,

∴∠PEC=30°;

②当点E在BC上时,如图3,

△PCE是等腰三角形,则PE=CE,

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP,

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠PBA=∠PBC=45°,又AB=BC,BP=BP,

∴△ABP≌△CBP,

∴∠BAP=∠BCP,

∵∠BAP+∠AEB=90°,2∠BCP+∠BCP=90°

∴∠BCP=30°,

∴∠AEB=60°,

∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°,

综上所述:∠PEC=30°或∠PEC=120°.


【解析】(1)利用菱形的性质,易得∠PDA=∠PDC,AD=CD,利用SAS定理证得△PAD≌△PCD,由全等三角形的性质及平行线的性质得到结论;(2)方法一,首先利用等腰三角形的性质得∠PAD=∠PDA,设∠PAD=∠PDA=x,利用外角性质易得∠BPC=2x,因为PC⊥BE,得x,得∠ABC的度数;方法二,利用平行线的性质易得CM⊥AD,由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM,得AM=DM,由垂直平分线的性质得AC=CD=BC=AB,得△ABC是等边三角形,得∠ABC的度数;(3)分类讨论:①当点E在BC的延长线上时,首先利用等腰三角形的性质得CP=CE,易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP,由正方形的性质得∠PBA=∠PBC=45°,由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP,易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP,因为∠BAP+∠PEC=90°,求得∠PEC的度数;②当点E在BC上时,同理得出结论.
【考点精析】利用菱形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.

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(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求直线BC的函数表达式;

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