【题目】四边形ABCD为菱形,点P为对角线BD上的一个动点.
(1)如图1,连接AP并延长交BC的延长线于点E,连接 PC,求证:∠AEB=∠PCD.
(2)如图1,当PA=PD且PC⊥BE时,求∠ABC的度数.
(3)连接AP并延长交射线BC于点E,连接 PC,若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形,求∠PEC的度数.
【答案】
(1)
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠PDA=∠PDC,AD=CD AD∥BC,
在△PAD与△PCD中,
,
∴△PAD≌△PCD(SAS),
∴∠PAD=∠PCD,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD
(2)
解:如图1,
(方法一)∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA,
设∠PAD=∠PDA=x,则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x
∵PC⊥BE
∴2x+x=90°,
∴x=30°,
∴∠ABC=2x=60°;
(方法二):延长CP交AD于M,
∵AD∥BC,PC⊥BC,
∴CM⊥AD
∵PA=PD,
∴△PAM≌△PDM (HL),
∴AM=DM,
∴CM垂直平分AD
连接AC,则AC=CD=BC=AB,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°
(3)
解:①当点E在BC的延长线上时,如图2,
△PCE是等腰三角形,则CP=CE,
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形,
∴∠PBA=∠PBC=45°,
在△ABP与△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP
∵∠BAP+∠PEC=90°,2∠PEC+∠PEC=90°,
∴∠PEC=30°;
②当点E在BC上时,如图3,
△PCE是等腰三角形,则PE=CE,
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形,
∴∠PBA=∠PBC=45°,又AB=BC,BP=BP,
∴△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∵∠BAP+∠AEB=90°,2∠BCP+∠BCP=90°
∴∠BCP=30°,
∴∠AEB=60°,
∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°,
综上所述:∠PEC=30°或∠PEC=120°.
【解析】(1)利用菱形的性质,易得∠PDA=∠PDC,AD=CD,利用SAS定理证得△PAD≌△PCD,由全等三角形的性质及平行线的性质得到结论;(2)方法一,首先利用等腰三角形的性质得∠PAD=∠PDA,设∠PAD=∠PDA=x,利用外角性质易得∠BPC=2x,因为PC⊥BE,得x,得∠ABC的度数;方法二,利用平行线的性质易得CM⊥AD,由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM,得AM=DM,由垂直平分线的性质得AC=CD=BC=AB,得△ABC是等边三角形,得∠ABC的度数;(3)分类讨论:①当点E在BC的延长线上时,首先利用等腰三角形的性质得CP=CE,易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP,由正方形的性质得∠PBA=∠PBC=45°,由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP,易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP,因为∠BAP+∠PEC=90°,求得∠PEC的度数;②当点E在BC上时,同理得出结论.
【考点精析】利用菱形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在 中, 与 的角平分线交于 点.
(1)若 ,则 ;
(2)若 ,则 ;
(3)若 , 与 的角平分线交于 点, 的平分线与 的平分线交于点 , , 的平分线与 的平分线交于点 ,则 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一次数学课上,老师要求学生根据图示张鑫与李亮的对话内容,展开如下活动:
活动1:仔细阅读对话内容
活动2:根据对话内容,提出一些数学问题,并解答.
下面是学生提出的两个问题,请你列方程解答.
(1)如果张鑫没有办卡,她需要付多少钱?
(2)你认为买多少元钱的书办卡就便宜?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】王志和孙尚到图书城去买书,两人在书城购买书共花费了206元,共购买了16本书,其中王志平均每本书的价格为12元,孙尚平均每本书的价格为14元.
(1)王志和孙尚各购买书多少本?
(2)如果在书城办会卡买书可以享受7折优惠,那么两人合办一张会员卡(会员卡8元),请问此次购书两人共可以节省多少钱?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ 时,求tan∠CED的值;
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
(参考公式:抛物线的顶点坐标是)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com