Question

已知：抛物线l₁：y=﹣x²+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）求抛物线l₂的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线l₁：y=﹣x²+bx+3的对称轴为x=1，

∴﹣=1，解得b=2，

∴抛物线l₁的解析式为y=﹣x²+2x+3，

令y=0，可得﹣x²+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），

∵抛物线l₂经过点A、E两点，

∴可设抛物线l₂解析式为y=a（x+1）（x﹣5），

又∵抛物线l₂交y轴于点D（0，﹣），

∴﹣=﹣5a，解得a=，

∴y=（x+1）（x﹣5）=x²﹣2x﹣，

∴抛物线l₂的函数表达式为y=x²﹣2x﹣；

（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），

∴PC²=1²+（y﹣3）²=y²﹣6y+10，PA²=[1﹣（﹣1）]²+y²=y²+4，

∵PC=PA，

∴y²﹣6y+10=y²+4，解得y=1，

∴P点坐标为（1，1）；

（3）由题意可设M（x，x²﹣2x﹣），

∵MN∥y轴，

∴N（x，﹣x²+2x+3），x²﹣2x﹣

令﹣x²+2x+3=x²﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x²+2x+3）﹣（x²﹣2x﹣）=﹣x²+4x+=﹣（x﹣）²+，

显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；

②当＜x≤5时，MN=（x²﹣2x﹣）﹣（﹣x²+2x+3）=x²﹣4x﹣=（x﹣）²﹣，

显然当x＞时，MN随x的增大而增大，

∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）²﹣=12；

综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．