Question

如图，已知点B，C分别在射线AN，AM上，∠MCB与∠NBC的平分线交于点P．
（1）求证：AP平分∠BAC；
（2）若∠ACB=90°，PC=4

2

，PB=5，AB=7，求AP的长．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：（1）过点P作PD⊥AM，PF⊥AN，PE⊥BC，垂足分别为D、F、E，根据角平分线的性质得出PD=PE，PF=PE，故PD=PF，由此可得出结论；
（2）根据∠ACB=90°可知∠ECD=90°．由PC平分∠BCD得出∠PCE=∠CPE=45°，故CE=PE=

2

2

PC=4，PF=PE=4，再根据勾股定理即可得出结论．

解答：（1）证明：过点P作PD⊥AM，PF⊥AN，PE⊥BC，垂足分别为D、F、E，
∵∠MCB与∠NBC的平分线交于点P．
∴PD=PE，PF=PE，
∴PD=PF，
∴AP平分∠BAC；

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECD=90°．
∵PC平分∠BCD，
∴∠PCE=∠CPE=45°，CE=PE=

2

2

PC=4．
∴PF=PE=4，BF=

PB2-PF2

=

52-42

=3，
∴AP=

AF2+PF2

=

102+42

=2

29

．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．