Question

如图，线段AC、BD交于点M，过B、D两点分别作AC的垂线段BF、DE，
（1）若AB=CD，∠A=∠C，求证：FM=EM；
（2）若AB=CD，FM=EM，求证：∠A=∠C．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可先证明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，再证明△BFM≌△DEM，可得到FM=EM；
（2）由条件可先证明△BFM≌△DEM，可得BF=DE，再证明△ABF≌△DEM，可得∠A=∠C．

解答：证明：
（1）∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中

∠A=∠C ∠AFB=∠CED AB=CD

∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
在△BFM和△DEM中

∠BFM=∠DEM ∠BMF=∠DME BF=DE

∴△BFM≌△DEM（AAS），
∴FM=EM；
（2）∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFM=∠DEM=90°，
在△BFM和△DEM中

∠BFM=∠DEM FM=EM ∠BMF=∠DME

∴△BFM≌△DEM（ASA），
∴BF=DE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中

BF=DE AB=CD

∴△ABF≌△CDE（HL），
∴∠A=∠C．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．