Question

已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧ABC的中点．
（1）如图1，求证：OP∥BC；
（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧ABC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；
（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系得到PA=PC，则∠PAC=∠PCA，再由OA=OC得∠OAC=∠OCA，所以∠PAO=∠PCO，然后分类讨论：当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可表示出∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∠OPA=∠PAO=x，∠POD=2x，然后在△POD中，根据三角形内角和定理得到x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°；当CO=CD，设∠DCO=x，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可表示出∠OPC=x，∠PAO=x，∠POD=2x，∠ODC=3x，∠DOC=∠ODC=3x，然后在△POC中利用三角形内角和定理得x+x+5x=180°，解得x=（

180

7

）°，即∠PAO=（

180

7

）°．

解答：（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，
∵P是弧ABC的中点，
∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC；
（2）解：如图2，
∵P是弧ABC的中点，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=∠PCO，
当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，
∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，
∵∠OPA=∠PAO=x，
∴∠POD=2x，
在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，
即∠PAO=36°，
当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠POD=2x，
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，
∴∠DOC=∠ODC=3x，
在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（

180

7

）°，
即∠PAO=（

180

7

）°．
综上所述，∠A的度数为36°或（

180

7

）°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．