根据程序设定.机器人在平面上能完成下列动作:如图.先从点O沿北偏东60°方向行走一段时间到点P后.立即再向正北方向行走一段时间到点Q．但何时改变方向不定.假设机器人行走速度为2m/min.机器人行走3min时到达的位置为点Q．(1)若OP=2PQ.则O.Q两点之间的距离为 m,(2)求O.Q两点之间的最短距离,(3)机器人是否可能遇到在点O的东北方向且与点O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：如图，先从点O沿北偏东60°方向行走一段时间到点P后，立即再向正北方向行走一段时间到点Q．但何时改变方向不定，假设机器人行走速度为2m/min，机器人行走3min时到达的位置为点Q．
（1）若OP=2PQ，则O、Q两点之间的距离为

m；
（2）求O、Q两点之间的最短距离；
（3）机器人是否可能遇到在点O的东北方向且与点O距离为4

m处的目标T？请说明理由．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）由于速度一定时，路程与时间成正比，所以若OP=2PQ，则机器人先从点O行走2min到点P后，再行走1min到点Q．于是OP=4m，PQ=2m．延长QP交东西方向的直线于点A，解直角△OAP，得出AP=

OP=2，OA=2

，然后在直角△OAQ中利用勾股定理即可求出OQ；
（2）设机器人先从点O行走tmin到点P，则行走（3-t）min到点Q．根据余弦定理得出OQ的函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）假设机器人可能遇到在点O的东北方向且与点O距离为4

m处的目标T．先解直角△OAP，得出AP=OA•tan∠AOP=

m，OP=2AP=

m，则TP=AT-AP=（4-

）m，根据时间=路程÷速度得到机器人从点O行走到点P所用时间：

÷2=

（min），那么机器人再向正北方向行走路程为：2（3-

）=6-

，然后比较6-

与4-

的大小，如果6-

＜4-

，则机器人不可能遇到在点O的东北方向且与点O距离为4

m处的目标T；反之则可以遇到．

解答：

解：（1）如图，若OP=2PQ，则OP=4m，PQ=2m．
延长QP交东西方向的直线于点A，连结OQ．
在直角△OAP中，∵∠OAP=90°，∠AOP=30°，
∴AP=

OP=2m，OA=2

m，
∴AQ=AP+PQ=4m．
在直角△OAQ中，∵∠OAQ=90°，
∴OQ²=OA²+AQ²=（2

）²+4²=28，
∴OQ=2

（m）．
故答案为2

；

（2）设机器人先从点O行走tmin到点P，则行走（3-t）min到点Q．
在△OPQ中，∵OP=2t，PQ=2（3-t），∠OPQ=120°，
∴OQ²=OP²+PQ²-2OP•PQ•cos∠OPQ
=（2t）²+[2（3-t）]²-2×2t×2（3-t）×cos120°
=4t²+4（3-t）²+4t（3-t）
=4t²-12t+36
=4（t-1.5）²+27，
∴当t=1.5时，OQ有最小值

，
即O、Q两点之间的最短距离为3

m；

（3）机器人不可能遇到在点O的东北方向且与点O距离为4

m处的目标T．理由如下：
如图，△OAT是等腰直角三角形，OT=4

m，∠OAT=90°，所以OA=AT=4m．
假设机器人可能遇到在点O的东北方向且与点O距离为4

m处的目标T．
在直角△OAP中，∵∠OAP=90°，∠AOP=30°，
∴AP=OA•tan∠AOP=

m，OP=2AP=

m，
∴TP=AT-AP=（4-

）m，
机器人从点O行走到点P所用时间：

÷2=

（min），
∴机器人再向正北方向行走路程为：2（3-

）=6-

．
∵（6-

）-（4-

）=2-

＜0，
∴机器人不可能遇到在点O的东北方向且与点O距离为4

m处的目标T．

点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，其中涉及到勾股定理，余弦定理，二次函数的性质，路程、速度与时间的关系，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造直角三角形，并且利用数形结合是解题的关键．

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