Question

如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA交AB于点D
（1）求证：∠DOC=∠BDO；
（2）若⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据切线的性质定理得到直角三角形，从而根据HL证明直角三角形全等，即可得到对应角相等；
（2）阴影部分的面积=直角△AOB的面积-直角△ACD的面积-扇形OBC的面积．

解答：（1）证明：∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠B=90°．
又∵DC⊥OA，
∴∠OCD=90°．
在Rt△COD与Rt△BOD中，

OD=OD OB=OC

，
∴Rt△COD≌Rt△BOD（HL），
∴∠CDO=∠BDO．

（2）解：在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴OA=8，
AC=OA-OC=8-4=4．
在Rt△ACD中，tan∠A=

CD

AC

，
又∵∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC•tan30°=

4 3

3

，
∴S_{四边形OCDB}=2S_△OCD=2×

1

2

×4×

4 3

3

=

16 3

3

，
又∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°．
∴S_扇形OBC=

60π×42

360

=

8π

3

∴S_阴影=S_{四边形OCDB}-S_扇形OBC=

16 3

3

-

8π

3

．

点评：本题考查了切线的性质，能够根据切线的性质定理发现直角三角形，熟练运用HL判定直角三角形全等，能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行计算是解题关键．