Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1，点D在BC上，点E在AB上，使得△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=90°，求BE的长．（提示：可以运用“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,平行线分线段成比例

专题：

分析：过点EF作∥AC，交BC于点F，证明△ADC和△DEF全等，得出DF=AC=1，设CD=x，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答．

解答：解：过点E作EF作∥AC，交BC于点F，

∴∠BFC=∠C=90°，
∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°
∴AB=2AC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
CB=

AB2-AC2

=

22-12

=

3

，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=DA，
∵∠DAC+∠ADC=90°，∠EDF+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠EDF
在△ADC和△DEF中

∠DAC=∠EDF ∠C=∠EFD=90° DA=DE

∴△ADC≌△DEF（AAS），
∴DF=AC=1，
设CD=x，所以EF=x，BF=

3

-1-x
∵EF∥AC
∴

EF

AC

=

BF

BC

即

x

1

=

3 -1-x

3

解得：x=2-

3

．
即BE=2-

3

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，另外利用平行线成比例定理，列方程求线段的长度，也是经常用到的方法．