Question

【题目】设不等式|x﹣4|﹣|2x﹣7|＞ （x﹣7）的解集为M．
（1）求M；
（2）证明：当a、b∈M时，| ﹣2|＜|2 ﹣ |．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜3.5时，不等式化为4﹣x+2x﹣7＞ （x﹣7），解得x＞1，∴1＜x＜3.5；

3.5≤x＜4时，不等式化为4﹣x﹣2x+7＞ （x﹣7），解得x＜4，∴3.5≤x＜4；

x≥4时，不等式化为x﹣4﹣2x+7＞ （x﹣7），解得x＜4，无解；

综上所述，M={x|1＜x＜4}；

（2）解：证明：要证明| ﹣2|＜|2 ﹣ |，

只要证明ab﹣4 +4＜4a﹣4 +b，

只要证明ab+4＜4a+b，

只要证明ab+4＜4a+b，

只要证明（a﹣1）（b﹣4）＜0，

∵a、b∈M={x|1＜x＜4}，∴结论成立．

【解析】（1）分类讨论解不等式，可得M；（2）利用反证法，即可证明．
【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．